Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln (x + 1)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Étape 1.1.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.1.3.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln (x + 1)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.9

Simplifiez

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Étape 1.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 1.3.10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.3.10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.10.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 1.3.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

Étape 1.3.14

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Étape 1.3.15

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x + 1)$

Étape 1.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1)$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}$

Étape 2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $2 \sqrt{x}$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$\infty$