Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)$

Étape 1

Réécrivez $\tan (x) \ln (x)$ comme $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Étape 2.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 2.1.3.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.1.3.1.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Étape 2.1.3.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}$

Étape 2.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Étape 2.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.13

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.14

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.15

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.18

Simplifiez

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Étape 2.3.18.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.18.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.18.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.18.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.18.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.18.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.3.18.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \sin^{2} (x))$

Étape 2.5

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Étape 3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4.1.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{0}{0}$

Étape 4.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.4.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.4.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.4.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Étape 4.4

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Étape 5.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \sin (2 \cdot 0)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \sin (0)$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 0$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$