Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} x^{1.4} \cdot \ln (x)$

Étape 1

Réécrivez $x^{1.4} \cdot \ln (x)$ comme $\frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 1.4}}$

Étape 2.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 1.4}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{1.4}}}$

Étape 2.1.3.2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $x^{1.4}$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1.4 x^{- 2.4}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1.4 \frac{1}{x^{2.4}}}$

Étape 2.3.4.2

Associez $- 1.4$ et $\frac{1}{x^{2.4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1.4}{x^{2.4}}}$

Étape 2.3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1.4}{x^{2.4}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{2.4}}{1.4})$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x^{2.4}}{1.4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2.4}}{x \cdot 1.4}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $x^{2.4}$ et $x$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2.4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x \cdot 1.4}$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x (1.4)}$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x \cdot 1.4}$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{1.4}}{1.4}$

Étape 2.7

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1 x^{1.4}}{1.4}$

Étape 2.8

Factorisez $1.4$ à partir de $1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1 x^{1.4}}{1.4 (1)}$

Étape 2.9

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{+}} - (\frac{1}{1.4} \cdot \frac{x^{1.4}}{1})$

Étape 2.10

Divisez $1$ par $1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - (0.\overline{714285} \frac{x^{1.4}}{1})$

Étape 2.11

Divisez $x^{1.4}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - (0.\overline{714285} x^{1.4})$

Étape 2.12

Multipliez $0.\overline{714285}$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - 0.\overline{714285} x^{1.4}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 0.\overline{714285}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 0.\overline{714285} lim_{x \to 0^{+}} x^{1.4}$

Étape 3.2

Déplacez l’exposant $1.4$ de $x^{1.4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 0.\overline{714285} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{1.4}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 0.\overline{714285} \cdot 0^{1.4}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 0.\overline{714285} \cdot 0$

Étape 5.2

Multipliez $- 0.\overline{714285}$ par $0$ .

$0$