Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3}{x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Étape 7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - 2 x^{3} - 27}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} 27}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} 27}$

Étape 10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 27}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 27}$

Étape 12

Évaluez la limite de $27$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 13.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 13.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 - 1 \cdot 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1 - 2 - 2 - 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.1.6

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.1.7

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3 - 3}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.1.8

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$\frac{- 6}{1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 6}{1 - 2 \cdot 1^{3} - 1 \cdot 27}$

Étape 14.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 6}{1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 27}$

Étape 14.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 6}{1 - 2 - 1 \cdot 27}$

Étape 14.2.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\frac{- 6}{1 - 2 - 27}$

Étape 14.2.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 6}{- 1 - 27}$

Étape 14.2.6

Soustrayez $27$ de $- 1$ .

$\frac{- 6}{- 28}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 28$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{- 2 (3)}{- 28}$

Étape 14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 28$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 14}$

Étape 14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 14}$

Étape 14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{14}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{14}$

Forme décimale :

$0.2\overline{142857}$