Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - x^{2}}{x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} - x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0 - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 2 x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 2 x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 \cdot 0^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 \cdot 0^{3} - 0^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.7.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3} - 0^{2}}$

Étape 1.1.3.7.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0 - 0^{2}}$

Étape 1.1.3.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 - 0^{2}}$

Étape 1.1.3.7.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 - 0}$

Étape 1.1.3.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Étape 1.1.3.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - x^{2}}{x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} x - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x - 2 x + e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - (2 x)}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x}$

Étape 2

Comme la fonction approche de $\infty$ depuis la gauche et $- \infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$