Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

Étape 1

Réécrivez $(x^{2}) \cot (x^{2})$ comme $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 3

Évaluez la limite côté gauche.

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Étape 3.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 3.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 3.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 3.1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 3.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1.3.1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 3.1.1.3.1.1

Réécrivez $\cot (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Étape 3.1.1.3.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Étape 3.1.1.3.1.3

Convertissez de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ à $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

Étape 3.1.1.3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1.3.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

Étape 3.1.1.3.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

Étape 3.1.1.3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Étape 3.1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.1.3.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Étape 3.1.1.3.4.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Étape 3.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Étape 3.1.3.3

Réécrivez $\cot (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Étape 3.1.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Étape 3.1.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Étape 3.1.3.6

Simplifiez

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Étape 3.1.3.6.1

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Étape 3.1.3.6.2

Multipliez $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Étape 3.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x^{2})$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.1.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.8.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.9

Élevez $\cos (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.10

Élevez $\cos (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.14

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.1.3.14.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.14.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.16

Multipliez $\sin (x^{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.17

Élevez $\sin (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.18

Élevez $\sin (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.21

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.22.1

Factorisez $2 x$ à partir de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

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Étape 3.1.3.22.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.22.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.22.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.22.2

Réorganisez les termes.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.22.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.3.22.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Étape 3.1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 3.1.5.1

Associez $2$ et $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Étape 3.1.5.2

Associez $x$ et $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Étape 3.1.6

Réduisez.

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Étape 3.1.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Étape 3.1.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Étape 3.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Étape 3.1.6.2.2

Divisez $\cos^{2} (x^{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Étape 3.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

Étape 3.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Étape 3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Étape 3.4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1^{2}$

Étape 3.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 5

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 5.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 5.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 5.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 5.1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Étape 5.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1.3.1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 5.1.1.3.1.1

Réécrivez $\cot (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Étape 5.1.1.3.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Étape 5.1.1.3.1.3

Convertissez de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ à $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

Étape 5.1.1.3.2

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.1.3.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

Étape 5.1.1.3.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

Étape 5.1.1.3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Étape 5.1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.1.3.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Étape 5.1.1.3.4.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Étape 5.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Étape 5.1.3.3

Réécrivez $\cot (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Étape 5.1.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Étape 5.1.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Étape 5.1.3.6

Simplifiez

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Étape 5.1.3.6.1

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Étape 5.1.3.6.2

Multipliez $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Étape 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.8.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.9

Élevez $\cos (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.10

Élevez $\cos (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.14

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.14.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.14.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.16

Multipliez $\sin (x^{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.17

Élevez $\sin (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.18

Élevez $\sin (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.21

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.22.1

Factorisez $2 x$ à partir de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

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Étape 5.1.3.22.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.22.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.22.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.22.2

Réorganisez les termes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.22.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.3.22.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Étape 5.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Étape 5.1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1.5.1

Associez $2$ et $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Étape 5.1.5.2

Associez $x$ et $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Étape 5.1.6

Réduisez.

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Étape 5.1.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Étape 5.1.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Étape 5.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Étape 5.1.6.2.2

Divisez $\cos^{2} (x^{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

Étape 5.2

Évaluez la limite.

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Étape 5.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Étape 5.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

Étape 5.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Étape 5.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Étape 5.4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1^{2}$

Étape 5.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$

Étape 6

Comme la limite côté gauche est égale à la limite côté droit, la limite est égale à $1$ .

$1$