Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Étape 10

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Étape 11

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sin (\frac{2 π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

Étape 12

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0$ . Ainsi, la limite de $\sin (\frac{2 π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $0$ .

$0$

Étape 13

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Étape 14

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sin (\frac{2 π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

Étape 15

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0$ . Ainsi, la limite de $\sin (\frac{2 π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Étape 16.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Étape 16.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Étape 16.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

Étape 16.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

Étape 16.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

Étape 16.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.7.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \cdot (1 - 0)$

Étape 16.7.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 \cdot (1 + 0)$

Étape 16.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 \cdot 1$

Étape 16.9

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$