Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ comme un produit.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1.2

Écrivez $\sin (4 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Divisez $\sin (4 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sin (4 x) \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $4$ . Ainsi, la limite de $\sin (4 x) \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $4$ .

$4$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sin (4 x) \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Étape 8

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $4$ . Ainsi, la limite de $\sin (4 x) \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $4$ .

$\sqrt{4}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Étape 9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2$