Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} 5 π (3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3)$

Étape 1

Placez le terme $5 π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 π lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 π (lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 π (3 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 5

Placez le terme $2 π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π lim_{x \to 0} \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (lim_{x \to 0} \frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 7

Placez le terme $\frac{5 π}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Étape 11

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 π (3 \cdot 1 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.3

Réécrivez $\sec (0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}}) - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} (1 \cos (0))) - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.5

Multipliez $\cos (0)$ par $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cos (0)) - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot 1) - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.7

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.9

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$5 π (3 + 2 π \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 π (3 + 2 π - 1 \cdot 3)$

Étape 13.1.11

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$5 π (3 + 2 π - 3)$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$5 π (2 π + 0)$

Étape 13.3

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$5 π (2 π)$

Étape 13.4

Multipliez $5 π (2 π)$ .

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Étape 13.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 π π$

Étape 13.4.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$10 (π^{1} π)$

Étape 13.4.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$10 (π^{1} π^{1})$

Étape 13.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 π^{1 + 1}$

Étape 13.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 π^{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$10 π^{2}$

Forme décimale :

$98.69604401 \dots$