Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{5 x^{2} + 5}}{\sqrt{9 x - 2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{5 x^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{9 x - 2}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 5 x^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{9 x - 2}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 5 x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{9 x - 2}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{9 x - 2}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{9 x - 2}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{9 x - 2}}$

Étape 7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 9 x - 2}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 9 x - lim_{x \to 2} 2}}$

Étape 9

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{9 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}{\sqrt{9 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 2^{2} + 5}}{\sqrt{9 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 2^{2} + 5}}{\sqrt{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 4 + 5}}{\sqrt{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Étape 12.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{20 + 5}}{\sqrt{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Étape 12.1.3

Additionnez $20$ et $5$ .

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Étape 12.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Étape 12.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{\sqrt{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{5}{\sqrt{18 - 1 \cdot 2}}$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5}{\sqrt{18 - 2}}$

Étape 12.2.3

Soustrayez $2$ de $18$ .

$\frac{5}{\sqrt{16}}$

Étape 12.2.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{5}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 12.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{4}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{4}$

Forme décimale :

$1.25$