Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 1} (x) (\sin (x))}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 \cdot \sin (lim_{x \to 1} x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 \cdot \sin (1)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Convertissez de $\frac{1 \cdot \sin (1)}{\cos (3 x)}$ à $1 \tan (3 x)$ .

$1 \tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 4.2

Multipliez $\tan (3 x)$ par $1$ .

$\tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)}$ comme un produit.

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 4.4

Écrivez $\sin (3 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Divisez $\sin (3 x)$ par $1$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 4.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (9 x)}$ à $\sec (9 x)$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

Étape 4.6

Réécrivez $\frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$ comme un produit.

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \frac{1}{\cos (27 x)}$

Étape 4.7

Écrivez $\sin (9 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \frac{\sin (9 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (27 x)}$

Étape 4.8

Simplifiez

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Étape 4.8.1

Divisez $\sin (9 x)$ par $1$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \frac{1}{\cos (27 x)}$

Étape 4.8.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (27 x)}$ à $\sec (27 x)$ .

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \sec (27 x)$