Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \ln ({(x)}^{x - 1})$

Étape 1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 1} {(x)}^{x - 1})$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x)}^{x - 1}$ comme $e^{\ln ({(x)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 1} e^{\ln ({(x)}^{x - 1})})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(x)}^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 1} e^{(x - 1) \ln (x)})$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (e^{lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x)})$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Étape 3.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)$ de l’exposant.

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 - 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Étape 5.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0 \cdot 0 \ln (e)$

Étape 5.5

Multipliez $0$ par $0$ .

$0 \ln (e)$

Étape 5.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 5.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$