Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}} + 4 x^{2} - \frac{3 \sqrt{x}}{4}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + \frac{2}{x^{3}} + 4 x^{2} - \frac{3 \sqrt{x}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$0 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$0 + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$0 + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$0 + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$0 + 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 2.8

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$0 - 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{4}]$

Étape 4.2

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.10

Multipliez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{3}{4}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $4$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{8}$

Étape 4.12

Déplacez $3$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Étape 4.13

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 6 \frac{1}{x^{4}} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$0 + \frac{- 6}{x^{4}} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{6}{x^{4}} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $\frac{6}{x^{4}}$ de $0$ .

$- \frac{6}{x^{4}} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 x - \frac{6}{x^{4}} - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$