Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{- \frac{1}{3}}}{1 - x^{- \frac{2}{3}}}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1.1

Convertissez les exposants négatifs en fractions.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}{1 - x^{- \frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 1.1.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 1.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 1.1.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 1.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{\frac{x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 1.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} (\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.5

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{(\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{(\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.7.1.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(1 - 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.7.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.2.7.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Étape 2.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Étape 2.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 2.1.3.4

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{1} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{1} \cdot (1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.7.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.7.2

Multipliez $1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.7.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.7.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 2.1.3.7.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.7.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{3}} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 1$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.10

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{3}} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.14

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.15

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.17.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.17.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.19

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.20

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.21

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.22

Additionnez $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.23

Associez $x^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.24

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.25

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.26

Pour écrire $(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.27

Associez $(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot 3 + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.29

Associez $3$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.30

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.31

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.32

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.32.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.32.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.32.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33

Simplifiez

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Étape 2.3.33.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.33.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.33.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.33.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.2.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme $- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.33.3.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.5

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.33.6

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.34

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Étape 2.3.35

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1] + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.36

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{2}{3}} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.37

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.38

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.39

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.40

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.41

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.41.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.41.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.42

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.43

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.44

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.45

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.46

Additionnez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.47

Associez $x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.48

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.49

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.50

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Étape 2.3.51

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})}$

Étape 2.3.52

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}$

Étape 2.3.53

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}$

Étape 2.3.54

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})}$

Étape 2.3.55

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.55.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})}$

Étape 2.3.55.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})}$

Étape 2.3.56

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})}$

Étape 2.3.57

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}$

Étape 2.3.58

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 2.3.59

Pour écrire $(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 2.3.60

Associez $(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + \frac{(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot 3}{3}}$

Étape 2.3.61

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot 3}{3}}$

Étape 2.3.62

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.63

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.64

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.65

Simplifiez

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Étape 2.3.65.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.65.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.65.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.65.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.3.65.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.65.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + 1 - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.65.2.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.65.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.65.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.65.3.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.65.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Étape 2.3.65.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3}}$

Étape 2.3.65.5

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}}$

Étape 2.3.65.6

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Étape 2.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Étape 2.5.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.7

Réduisez.

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Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 2.7.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (x^{\frac{2}{3}})}{\sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} (3 \sqrt[3]{x} - 2) (x^{\frac{2}{3}})}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt[3]{x} - 2 \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} 3 \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 3.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 3.7

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Étape 3.8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Étape 3.9

Placez la limite sous le radical.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Étape 3.10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 3.11

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 3.12

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 3.13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(3 - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(3 - 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.1.5

Multipliez $1^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$\frac{1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 - 1)}$

Étape 5.2.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} \cdot 2}$

Étape 5.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{1 \cdot 2}$

Étape 5.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$