Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{1 - e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

Étape 4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{x + 1}{x + 3}}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + lim_{x \to 1^{+}} 3}}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{1 + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{1 + 1}{1 + 3}}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{2}{1 + 3}}}$

Étape 11.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{2}{4}}}$

Étape 11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - e^{\frac{2}{4}}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $e^{\frac{2}{4}}$ comme ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - {(e^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Étape 11.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{(1 + e^{\frac{1}{4}}) (1 - e^{\frac{1}{4}})}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{(1 + e^{\frac{1}{4}}) (1 - e^{\frac{1}{4}})}$

Forme décimale :

$- 1.54149408 \dots$