Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} (\frac{1}{4 \sqrt[12]{x^{5}}} - 8 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{4 \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{lim_{x \to 3} x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $5$ de $x^{5}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 7

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 11

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{x \to 3} x^{2}}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{4 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{4 \sqrt[12]{243}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.4

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt[12]{243}}$ par $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ .

$\frac{1}{4 \sqrt[12]{243}} \cdot \frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1.5.1

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt[12]{243}}$ par $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ .

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.2

Déplacez $\sqrt[12]{243}$ .

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 (\sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.3

Élevez $\sqrt[12]{243}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 ({\sqrt[12]{243}}^{1} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 {\sqrt[12]{243}}^{1 + 11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.5

Additionnez $1$ et $11$ .

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 {\sqrt[12]{243}}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.6

Réécrivez ${\sqrt[12]{243}}^{12}$ comme $243$ .

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Étape 14.1.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[12]{243}$ comme $243^{\frac{1}{12}}$ .

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 {(243^{\frac{1}{12}})}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243^{\frac{1}{12} \cdot 12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.6.3

Associez $\frac{1}{12}$ et $12$ .

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.6.4

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 14.1.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243^{1}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.6.1

Réécrivez ${\sqrt[12]{243}}^{11}$ comme $\sqrt[12]{243^{11}}$ .

$\frac{\sqrt[12]{243^{11}}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.6.2

Élevez $243$ à la puissance $11$ .

$\frac{\sqrt[12]{174449211009120000000000000}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.6.3

Réécrivez $174449211009120000000000000$ comme $10^{12} \cdot 174449211009120$ .

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Étape 14.1.6.3.1

Factorisez $1000000000000$ à partir de $174449211009120000000000000$ .

$\frac{\sqrt[12]{1000000000000 (174449211009120)}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.6.3.2

Réécrivez $1000000000000$ comme $10^{12}$ .

$\frac{\sqrt[12]{10^{12} \cdot 174449211009120}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.6.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{10 \sqrt[12]{174449211009120}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.7

Multipliez $4$ par $243$ .

$\frac{10 \sqrt[12]{174449211009120}}{972} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.8

Annulez le facteur commun à $10$ et $972$ .

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Étape 14.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt[12]{174449211009120}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt[12]{174449211009120})}{972} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $972$ .

$\frac{2 (5 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 (486)} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 \cdot 486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Étape 14.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

Étape 14.1.10

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 14.1.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1.11.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 14.1.11.2

Élevez $\sqrt[3]{9}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 14.1.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Étape 14.1.11.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Étape 14.1.11.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ comme $9$ .

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Étape 14.1.11.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9}$ comme $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 14.1.11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 14.1.11.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Étape 14.1.11.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.1.11.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Étape 14.1.11.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Étape 14.1.11.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Étape 14.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.12.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Étape 14.1.12.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{81}}{9}$

Étape 14.1.12.3

Réécrivez $81$ comme $3^{3} \cdot 3$ .

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Étape 14.1.12.3.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Étape 14.1.12.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Étape 14.1.12.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Étape 14.1.13

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 14.1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt[3]{3}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9}$

Étape 14.1.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

Étape 14.1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

Étape 14.1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Étape 14.2

Pour écrire $- 8 \sqrt[3]{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Étape 14.3

Associez $- 8 \sqrt[3]{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3 + \sqrt[3]{3}}{3}$

Étape 14.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.1.1

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} + \frac{- 24 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}}{3}$

Étape 14.5.1.2

Additionnez $- 24 \sqrt[3]{3}$ et $\sqrt[3]{3}$ .

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} + \frac{- 23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Étape 14.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Forme décimale :

$- 10.89907110 \dots$