Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} (\frac{1}{x - 3}) (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1.1

Multipliez $\frac{1}{x - 3}$ par $\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

Étape 1.1.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.1

Pour écrire $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Étape 1.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Étape 1.1.2.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

Étape 1.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}$ par $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 1.3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{3 + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 2.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 2.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 2.1.3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

Étape 2.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.8.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{4} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Étape 2.1.3.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2^{2}} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Étape 2.1.3.8.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

Étape 2.1.3.8.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 3)}$

Étape 2.1.3.8.5

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.8.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \sqrt{x + 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

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Étape 2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.14

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.4.15

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.5

Soustrayez $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

Étape 2.3.6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.12

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.13

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.3.13.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.13.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.13.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.14

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.15

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.17.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.17.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.19

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.20

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 2.3.21

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.23

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

Étape 2.3.24

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

Étape 2.3.25

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26

Simplifiez

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Étape 2.3.26.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.3.26.2

Multipliez $x - 3$ par $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.3.26.3

Pour écrire ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.4

Associez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.26.6.1

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.26.6.1.1

Déplacez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.2

Simplifiez ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + x \cdot 2 + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.6

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 3 + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26.6.7

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

Étape 2.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.5.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

Étape 2.5.2

Réécrivez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$ par $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

Étape 2.7

Réduisez.

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Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

Étape 2.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) (\sqrt{x + 1})}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{x + 1}$ .

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \sqrt{x + 1}}$

Étape 2.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{3 x - 1}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 3} \frac{1}{3 x - 1}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 1}$

Étape 3.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1}$

Étape 5.3.3

Soustrayez $1$ de $9$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Étape 5.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8 \cdot 2}$

Étape 5.4.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{16}$

Forme décimale :

$- 0.0625$