Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{3}}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{1 - x^{2}}{1 - x^{3}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 1 - x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 1 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - lim_{x \to 3} x^{3}}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{1 - lim_{x \to 3} x^{3}}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 3^{2}}{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 3^{2}}{1 - 3^{3}}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 1 \cdot 9}{1 - 3^{3}}}$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 9}{1 - 3^{3}}}$

Étape 10.3

Soustrayez $9$ de $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 3^{3}}}$

Étape 10.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 1 \cdot 27}}$

Étape 10.5

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 27}}$

Étape 10.6

Soustrayez $27$ de $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{- 26}}$

Étape 10.7

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $- 26$ .

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Étape 10.7.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 8$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 2 (4)}{- 26}}$

Étape 10.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.7.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 26$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 13}}$

Étape 10.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{\frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 13}}$

Étape 10.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{\frac{4}{13}}$

Étape 10.8

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{4}{13}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$

Étape 10.9

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Étape 10.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{\sqrt[3]{13} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Étape 10.10.2

Élevez $\sqrt[3]{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Étape 10.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1 + 2}}$

Étape 10.10.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{3}}$

Étape 10.10.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{13}}^{3}$ comme $13$ .

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Étape 10.10.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{13}$ comme $13^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{(13^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 10.10.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 10.10.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Étape 10.10.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.10.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Étape 10.10.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{1}}$

Étape 10.10.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13}$

Étape 10.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.11.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{13}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{13^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{13^{2}}}{13}$

Étape 10.11.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{169}}{13}$

Étape 10.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.12.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot 169}}{13}$

Étape 10.12.2

Multipliez $4$ par $169$ .

$\frac{\sqrt[3]{676}}{13}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[3]{676}}{13}$

Forme décimale :

$0.67510638 \dots$