Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2 - 4}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{2 - 4}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2 - 4$ de $x^{2 - 4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2 - 4}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2 - 4}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2 - 4}}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{2^{2 - 4}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Placez $2^{2 - 4}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 + 4 - 1 \cdot 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Étape 8.2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$(4 + 4 - 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Étape 8.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$(8 - 8) \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Étape 8.4

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0 \cdot 2^{- (2 - 4)}$

Étape 8.5

Soustrayez $4$ de $2$ .

$0 \cdot 2^{- - 2}$

Étape 8.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$0 \cdot 2^{2}$

Étape 8.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$0 \cdot 4$

Étape 8.8

Multipliez $0$ par $4$ .

$0$