Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{16 - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{16 - 12 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.3

Soustrayez $12$ de $16$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{2 \cdot 16 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.6

Multipliez $2$ par $16$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{32 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{32 - 4 - 1}}$

Étape 12.8

Soustrayez $4$ de $32$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{28 - 1}}$

Étape 12.9

Soustrayez $1$ de $28$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

Étape 12.10

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

Étape 12.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.11.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{27}}$

Étape 12.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{2}{\sqrt[3]{27}}$

Étape 12.12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.12.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{2}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

Étape 12.12.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{2}{3}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{6}$