Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{\sqrt{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sqrt{4} \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{4}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{4} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{4}} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}$ par $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite de $2 - \sqrt{4}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Étape 3.1.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Étape 3.1.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.3.1.1

Placez le terme $2 \sqrt{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} lim_{x \to 4} x - 4}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Étape 3.1.3.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (4 - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{2^{2}} (4 - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{2 \cdot 2 (4 - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{4 (4 - 1 \cdot 4)}$

Étape 3.1.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{4 (4 - 4)}$

Étape 3.1.3.3.5

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Étape 3.1.3.3.6

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{2^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 1 \cdot 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

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Étape 3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3.6.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + 0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Étape 3.3.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2^{2}} (x - 4)]}$

Étape 3.3.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x - 4)]}$

Étape 3.3.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [4 (x - 4)]}$

Étape 3.3.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 (x - 4)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x - 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Étape 3.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Étape 3.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Étape 3.3.14

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + 0)}$

Étape 3.3.15

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \cdot 1}$

Étape 3.3.16

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 (0)}{4}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{1}$

Étape 3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} 0$

Étape 4

Évaluez la limite de $0$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$0$