Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x^{2}) \arctan (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + x^{2}$ et $g (x) = \arctan (x)$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 2 x \arctan (x)$