Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{3 - \sqrt{2 x - 1}}{3 (\sqrt{5 x - 5})}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 5} \frac{3 - \sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{5 x - 5}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 3 - \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 3 - lim_{x \to 5} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - lim_{x \to 5} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 5} 2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Étape 9

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 5} 5 x - 5}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 5} 5 x - lim_{x \to 5} 5}}$

Étape 11

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 \cdot 5 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 \cdot 5 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{10 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{10 - 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14.1.3

Soustrayez $1$ de $10$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{9}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14.1.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14.1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14.1.7

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{25 - 1 \cdot 5}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{25 - 5}}$

Étape 14.2.3

Soustrayez $5$ de $25$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{20}}$

Étape 14.2.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 14.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{4 (5)}}$

Étape 14.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Étape 14.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{2 \sqrt{5}}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (0)}{2 \sqrt{5}}$

Étape 14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (0)}{2 (\sqrt{5})}$

Étape 14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 0}{2 \sqrt{5}}$

Étape 14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{5}}$

Étape 14.4

Divisez $0$ par $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0$

Étape 14.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$0$