Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{2 x + 14} - 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{2 x + 14} - 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{2 x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} 2 x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 6

Évaluez la limite de $14$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 lim_{x \to 5} \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 10

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 9}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 9}$

Étape 13

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 9}$

Étape 14

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Étape 15.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{10 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Étape 16.1.2

Additionnez $10$ et $14$ .

$\frac{\sqrt{24} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Étape 16.1.3

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 16.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Étape 16.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Étape 16.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Étape 16.1.5

Additionnez $5$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Étape 16.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{25 - 6 \cdot 5 + 9}$

Étape 16.2.2

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{25 - 30 + 9}$

Étape 16.2.3

Soustrayez $30$ de $25$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{- 5 + 9}$

Étape 16.2.4

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{4}$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}$ et $4$ .

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Étape 16.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6}) - 2 \sqrt{7}}{4}$

Étape 16.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{7}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6}) + 2 (- \sqrt{7})}{4}$

Étape 16.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{6}) + 2 (- \sqrt{7})$ .

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{4}$

Étape 16.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{2 (2)}$

Étape 16.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{2 \cdot 2}$

Étape 16.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{7}}{2}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{7}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.09813078 \dots$