Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \csc (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 5

Multipliez.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $\cot (x)$ par $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 6

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 7

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

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Étape 10.2.1.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $1 (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.1.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.1.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.1.4

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.6.1

Multipliez $- \csc (x)$ par $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $\csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \csc (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.10.1

Multipliez $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 10.2.10.1.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.10.1.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.10.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- {\csc (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.10.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.2.10.2

Réécrivez $- 1 \csc (x)$ comme $- \csc (x)$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ .

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Étape 10.3.1.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.3.1.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.3.1.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc (x) - 1$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.3.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) + 1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

$\frac{\csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.3.3

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- \csc (x) (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun à $\csc (x) + 1$ et ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

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Étape 10.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- \csc (x) (1 + \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.4.2

Factorisez $1 + \csc (x)$ à partir de $- \csc (x) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Étape 10.4.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.3.1

Factorisez $1 + \csc (x)$ à partir de ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Étape 10.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Étape 10.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Étape 10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$