Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{| x |}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{| x | (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (2 x) - x^{2} \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 4

Associez $\frac{x}{| x |}$ et $x^{2}$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x \cdot x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{1} x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{1 + 2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 | x | x - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 | x | x - \frac{x^{3}}{| x |}$ .

$\frac{2 x | x | - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- \frac{x^{3}}{| x |}$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 x | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x | x |$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + x (2 | x |)}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + x (2 | x |)$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |} + 2 | x |)}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.2

Pour écrire $2 | x |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{2 | x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.4.1

Multipliez $2 | x | | x |$ .

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Étape 6.3.4.1.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.4.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1} x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.4.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1} x^{1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.4.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.4.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.4.2

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.3.4.3

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{x \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6.4

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{x \frac{x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Étape 6.5

Associez $x$ et $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Étape 6.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.6.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Étape 6.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{1 + 2}}{| x |}}{x^{2}}$

Étape 6.6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{| x |}}{x^{2}}$

Étape 6.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{3}}{| x |} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 6.8

Associez.

$\frac{x^{3} \cdot 1}{| x | x^{2}}$

Étape 6.9

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.9.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{| x | x^{2}}$

Étape 6.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.9.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $| x | x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Étape 6.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Étape 6.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot 1}{| x |}$

Étape 6.10

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x}{| x |}$