Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\cos (x)}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{\cos (x)}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{\cos (x)}$ comme $\cos^{- 1} (x)$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$4 (- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (- \cos^{- 2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 2.6

Multipliez $\cos^{- 2} (x)$ par $1$ .

$4 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Étape 3.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$4 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

Étape 3.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$4 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 3.4

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$4 \cos^{- 2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 4.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 4.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 4.3.4

Associez $4$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 4.3.5

Associez $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \csc^{2} (x)$

Étape 4.3.6

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 4.3.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.4.2

Séparez les fractions.

$\frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.4.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.4.4

Séparez les fractions.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.4.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.4.6

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.4.7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$4 \sec (x) \tan (x) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.4.8

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$4 \sec (x) \tan (x) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 4.4.9

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$4 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$