Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - 1))$

Étape 1

Comme $\frac{2}{π}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} (x - 1))$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$ .

$\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{π}{2} (x - 1)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π}{2} (x - 1)$ .

$\frac{2}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{2}{π} (\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ et $\frac{2}{π}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 2}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ .

$\frac{2 \cdot \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

Étape 3.3

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2} (x - 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π}$ .

$\frac{π (2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1)))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{2 \cdot π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.4.4.2

Divisez $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ par $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + 0)$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 1$

Étape 3.8.2

Multipliez $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ par $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} \cdot - 1)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $- 1$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π \cdot - 1}{2})$

Étape 4.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- 1 \cdot π}{2})$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- π}{2})$

Étape 4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2})$