Calcul infinitésimal Exemples

$2.7 (\frac{x}{2}) + (18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2.7 (\frac{x}{2}) + (18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})]$ .

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Étape 2.1

Associez $2.7$ et $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2.7 x}{2}] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Étape 2.2

Comme $\frac{2.7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2.7 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{2.7}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2.7}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2.7}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{2.7}{2}$ par $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 18 + 1.1 x$ et $g (x) = \frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}] + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Étape 3.2

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{120}{x}$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 + 1.1 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [1.1 x]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [1.1 x])$

Étape 3.6

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + \frac{d}{d x} [1.1 x])$

Étape 3.7

Comme $1.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1.1 x$ par rapport à $x$ est $1.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \cdot 1)$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $120$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \cdot 1)$

Étape 3.10

Multipliez $1.1$ par $1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} (0 + 1.1)$

Étape 3.11

Additionnez $0$ et $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} \cdot 1.1$

Étape 3.12

Associez $\frac{120}{x}$ et $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120 \cdot 1.1}{x}$

Étape 3.13

Multipliez $120$ par $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{132}{x}$

Étape 3.14

Pour écrire $(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) x}{x} + \frac{132}{x}$

Étape 3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) x + 132}{x}$

Étape 3.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 (x^{1} x^{- 2})) + 132}{x}$

Étape 3.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{1 - 2}) + 132}{x}$

Étape 3.18

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 1}) + 132}{x}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 (- 120 \frac{1}{x}) + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Associez $- 120$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 \frac{- 120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 (- \frac{120}{x}) + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- 18 \frac{120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.3.4

Associez $- 18$ et $\frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{\frac{- 18 \cdot 120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 18$ par $120$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{\frac{- 2160}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.3.7

Associez $- 120$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x \frac{- 120}{x} + 132}{x}$

Étape 4.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x (- \frac{120}{x}) + 132}{x}$

Étape 4.3.9

Multipliez $- 1$ par $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} - 1.1 x \frac{120}{x} + 132}{x}$

Étape 4.3.10

Associez $- 1.1$ et $\frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + x \frac{- 1.1 \cdot 120}{x} + 132}{x}$

Étape 4.3.11

Multipliez $- 1.1$ par $120$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + x \frac{- 132}{x} + 132}{x}$

Étape 4.3.12

Associez $x$ et $\frac{- 132}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{x \cdot - 132}{x} + 132}{x}$

Étape 4.3.13

Déplacez $- 132$ à gauche de $x$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{- 132 \cdot x}{x} + 132}{x}$

Étape 4.3.14

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{- 132 x}{x} + 132}{x}$

Étape 4.3.14.2

Divisez $- 132$ par $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} - 132 + 132}{x}$

Étape 4.3.15

Additionnez $- 132$ et $132$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 0}{x}$

Étape 4.3.16

Additionnez $- \frac{2160}{x}$ et $0$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x}}{x}$

Étape 4.3.17

Réécrivez $\frac{- \frac{2160}{x}}{x}$ comme un produit.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 4.3.18

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{2160}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x \cdot x}$

Étape 4.3.19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1} x}$

Étape 4.3.20

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1} x^{1}}$

Étape 4.3.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1 + 1}}$

Étape 4.3.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{2}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2160}{x^{2}} + \frac{2.7}{2}$

Étape 4.5

Divisez $2.7$ par $2$ .

$- \frac{2160}{x^{2}} + 1.35$