Calcul infinitésimal Exemples

${(3 x + 2)}^{2} e^{5 x} + \sin (3 x)$

Étape 1

Réécrivez ${(3 x + 2)}^{2}$ comme $(3 x + 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x + 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 2

Développez $(3 x + 2) (3 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 3.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Étape 4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}]$ .

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 9 x^{2} + 12 x + 4$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 12 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.8

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.12

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.13

Déplacez $5$ à gauche de $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

$5 \cdot (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.14

Multipliez $2$ par $9$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.15

Multipliez $12$ par $1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 5.16

Additionnez $18 x + 12$ et $0$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Étape 6.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 6.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 6.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \cdot 3$

Étape 6.5

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(5 (9 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.4

Associez des termes.

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Étape 7.4.1

Multipliez $9$ par $5$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.4.2

Multipliez $12$ par $5$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.4.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.4.4

Déplacez $12$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + 12 \cdot e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.4.5

Additionnez $60 x e^{5 x}$ et $e^{5 x} (18 x)$ .

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Étape 7.4.5.1

Déplacez $e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 18 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.4.5.2

Additionnez $60 x e^{5 x}$ et $18 x e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.4.6

Additionnez $20 e^{5 x}$ et $12 e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Étape 7.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$