Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{u}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$ est $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}]$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}$ comme ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3

Réécrivez $\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [{({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ et $g (u) = {(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 7.2.2

Placez ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Étape 7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = u^{2}$ et $g (u) = \frac{u}{2}$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Associez $2$ et $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 9.2.2

Divisez $u$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 9.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $\frac{u}{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u (\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 9.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 9.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 9.6

Multipliez $\frac{u}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + \frac{d}{d u} [- 1])$

Étape 9.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + 0)$

Étape 9.8

Associez les fractions.

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Étape 9.8.1

Additionnez $\frac{u}{2}$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{u}{2}$

Étape 9.8.2

Multipliez $\frac{u}{2}$ par $\frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{u}{2 (2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 9.8.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{u}{4 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{4} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$