Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \sin (4 t - \frac{π}{4})$ et $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (4 t - \frac{π}{4})] - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 4 t - \frac{π}{4}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 t - \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t - \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t - \frac{π}{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4.5

Comme $- \frac{π}{4}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{π}{4}$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 + 0)) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) \cdot 4) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (4 t - \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cdot \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \cdot 1}{t^{2}}$

Étape 4.8

Associez les fractions.

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Étape 4.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{t^{2}}$

Étape 4.8.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{t^{2}}$ .

$\frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t^{2}}$

Étape 4.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 t \cos (4 t - \frac{π}{4}) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t^{2}}$