Calcul infinitésimal Exemples

${(1 - \frac{t}{40})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(1 - \frac{t}{40})}^{2}$ comme $(1 - \frac{t}{40}) (1 - \frac{t}{40})$ .

$\frac{d}{d t} [(1 - \frac{t}{40}) (1 - \frac{t}{40})]$

Étape 2

Développez $(1 - \frac{t}{40}) (1 - \frac{t}{40})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [1 (1 - \frac{t}{40}) - \frac{t}{40} (1 - \frac{t}{40})]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [1 \cdot 1 + 1 (- \frac{t}{40}) - \frac{t}{40} (1 - \frac{t}{40})]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [1 \cdot 1 + 1 (- \frac{t}{40}) - \frac{t}{40} \cdot 1 - \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 1 (- \frac{t}{40}) - \frac{t}{40} \cdot 1 - \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})]$

Étape 3.1.2

Multipliez $- \frac{t}{40}$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} \cdot 1 - \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})]$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})]$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + 1 \frac{t}{40} \frac{t}{40}]$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $\frac{t}{40}$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t}{40} \cdot \frac{t}{40}]$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $\frac{t}{40}$ par $\frac{t}{40}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t \cdot t}{40 \cdot 40}]$

Étape 3.1.4.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{1} t}{40 \cdot 40}]$

Étape 3.1.4.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{1} t^{1}}{40 \cdot 40}]$

Étape 3.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{1 + 1}}{40 \cdot 40}]$

Étape 3.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{2}}{40 \cdot 40}]$

Étape 3.1.4.8

Multipliez $40$ par $40$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{t}{40}$ de $- \frac{t}{40}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 2 \frac{t}{40} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 2 (- 1) \frac{t}{40} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 2 \cdot - 1 \frac{t}{2 \cdot 20} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d t} [1 + 2 \cdot - 1 \frac{t}{2 \cdot 20} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d t} [1 - 1 \frac{t}{20} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \frac{t}{20}$ comme $- \frac{t}{20}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{20} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{t}{20} + \frac{t^{2}}{1600}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 6

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 8

Comme $- \frac{1}{20}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{20}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{20} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{20} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Étape 11

Comme $\frac{1}{1600}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{2}}{1600}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{1600} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{1}{1600} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{1}{1600} (2 t)$

Étape 13

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1

Associez $2$ et $\frac{1}{1600}$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{2}{1600} t$

Étape 13.2

Associez $\frac{2}{1600}$ et $t$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{2 t}{1600}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $1600$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{2 (t)}{1600}$

Étape 13.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $1600$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{2 t}{2 \cdot 800}$

Étape 13.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{20} + \frac{2 t}{2 \cdot 800}$

Étape 13.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{20} + \frac{t}{800}$

Étape 13.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t}{800} - \frac{1}{20}$