Calcul infinitésimal Exemples

$4 arccsc (2 x^{3})$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 arccsc (2 x^{3})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [arccsc (2 x^{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (2 x^{3})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arccsc (x)$ et $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 2.2

La dérivée de $arccsc (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{3} \sqrt{{(2 x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{3} \sqrt{{(2 (x^{3}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 (x^{3})$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{3} \sqrt{2^{2} {(x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{3} \sqrt{4 {(x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{3} \sqrt{4 x^{3 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\frac{1}{2 x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{2 x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}}$ et $- 4$ .

$\frac{- 4}{2 x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1})} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1})} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4

Associez les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{2}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{4}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} (3 x^{2})$

Étape 3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{4}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} x^{2}$

Étape 3.6.2

Associez $- 3$ et $\frac{4}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 4}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} x^{2}$

Étape 3.6.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}} x^{2}$

Étape 3.6.4

Associez $\frac{- 12}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}}$

Étape 3.6.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.6.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 12}{x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}}$

Étape 3.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} \sqrt{4 x^{6} - 1}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 12}{x^{2} (x \sqrt{4 x^{6} - 1})}$

Étape 3.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot - 12}{x^{2} (x \sqrt{4 x^{6} - 1})}$

Étape 3.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 12}{x \sqrt{4 x^{6} - 1}}$

Étape 3.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{x \sqrt{4 x^{6} - 1}}$