Calcul infinitésimal Exemples

$6 {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(2 x + 1)}^{2}$ comme $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 ((2 x + 1) (2 x + 1))]$

Étape 2

Développez $(2 x + 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1)]$

Étape 3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 4 x + 1)]$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 (4 x^{2} + 4 x + 1)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$ .

$6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 8

Multipliez $2$ par $4$ .

$6 (8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 11

Multipliez $4$ par $1$ .

$6 (8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 12

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 (8 x + 4 + 0)$

Étape 13

Additionnez $8 x + 4$ et $0$ .

$6 (8 x + 4)$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (8 x) + 6 \cdot 4$

Étape 14.2

Associez des termes.

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Étape 14.2.1

Multipliez $8$ par $6$ .

$48 x + 6 \cdot 4$

Étape 14.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$48 x + 24$