Calcul infinitésimal Exemples

$x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.13

Associez $4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.15

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.16

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.16.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.16.2

Annulez le facteur commun.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.16.3

Réécrivez l’expression.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.17

Associez $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.18

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{2 \cdot \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.19

Associez $x$ et $\frac{2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.20

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) x^{- \frac{1}{2}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.21

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.21.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.21.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.21.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.21.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.21.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.21.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.21.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 2.22

Multipliez $\tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [14]$

Étape 3

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + 0$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Additionnez $x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ et $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$