Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1$

Étape 1.1.9

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.10.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.10.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f' (x) = x^{2} x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{2 + 2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10.3.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (x) = x^{4} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$f' (x) = 4 \cdot x^{4} + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} + x^{2} \cdot - 4 + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10.3.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.1.10.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.10.4.1

Réécrivez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ comme $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + (x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Étape 1.1.10.4.2

Développez $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.10.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 1.1.10.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 1.1.10.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.10.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.10.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.10.4.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.10.4.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.10.4.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.10.4.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.10.4.3.1.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.10.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.10.4.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Étape 1.1.10.4.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Étape 1.1.10.5

Additionnez $4 x^{4}$ et $x^{4}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 x^{2} - 2 x^{2} + 1$

Étape 1.1.10.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$5 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 u$ .

$5 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1$ plus $- 5$

$5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1 = 0$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1 = 0$

Étape 2.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (5 u - 1) - (5 u - 1) = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 u - 1$ .

$(5 u - 1) (u - 1) = 0$

Étape 2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 2.5

Définissez $5 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $5 u - 1$ égal à $0$ .

$5 u - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $5 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 u = 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 u = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 u = 1$ par $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

Étape 2.6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 u - 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{5}, 1$

Étape 2.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 2.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Étape 2.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Étape 2.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 2.10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.10.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 2.10.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.10.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.10.2.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 2.10.2.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 2.10.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.10.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.10.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.10.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.10.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.10.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.10.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.10.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.10.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 2.10.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 2.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 2.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 2.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 2.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 2.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 1$

Étape 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.12.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 2.13

La solution à $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x {(x^{2} - 1)}^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5}) {({(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{1}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{25} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 (1)}{25} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1)}^{2}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{2}$

Étape 4.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 5}{5})}^{2}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{- 4}{5})}^{2}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Étape 4.1.2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2})$

Étape 4.1.2.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.8.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} (1 \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $\frac{4^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Étape 4.1.2.9

Associez.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5 \cdot 5^{2}}$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $5$ par $5^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $5$ par $5^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.10.1.1

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{1} \cdot 5^{2}}$

Étape 4.1.2.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{1 + 2}}$

Étape 4.1.2.10.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{3}}$

Étape 4.1.2.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 16}{5^{3}}$

Étape 4.1.2.12

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 16}{125}$

Étape 4.1.2.13

Déplacez $16$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$\frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}) {({(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{1}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{25} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

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Étape 4.2.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 (1)}{25} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{2}$

Étape 4.2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 5}{5})}^{2}$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{- 4}{5})}^{2}$

Étape 4.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Étape 4.2.2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2})$

Étape 4.2.2.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Étape 4.2.2.8

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.8.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Étape 4.2.2.8.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.8.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Étape 4.2.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Étape 4.2.2.8.3

Additionnez $2$ et $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Étape 4.2.2.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{16}{5^{2}}$

Étape 4.2.2.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{16}{25}$

Étape 4.2.2.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{16}{25}$

Étape 4.2.2.12

Multipliez $- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{16}{25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.12.1

Multipliez $\frac{16}{25}$ par $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{16 \sqrt{5}}{25 \cdot 5}$

Étape 4.2.2.12.2

Multipliez $25$ par $5$ .

$- \frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$(1) {({(1)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multipliez ${({(1)}^{2} - 1)}^{2}$ par $1$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(1 - 1)}^{2}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0^{2}$

Étape 4.3.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$(- 1) {({(- 1)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 {(1 - 1)}^{2}$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- 1 \cdot 0^{2}$

Étape 4.4.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 1 \cdot 0$

Étape 4.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 4.5

Indiquez tous les points.

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{16 \sqrt{5}}{125}), (- \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{16 \sqrt{5}}{125}), (1, 0), (- 1, 0)$

Étape 5