Calcul infinitésimal Exemples

$(x) (22 - 2 x) (22 - 2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Élevez $22 - 2 x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} (22 - 2 x))]$

Étape 1.2

Élevez $22 - 2 x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} {(22 - 2 x)}^{1})]$

Étape 1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{1 + 1}]$

Étape 1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{2}]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(22 - 2 x)}^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(22 - 2 x)}^{2}] + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 22 - 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $22 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $22 - 2 x$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $22 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Comme $22$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $22$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (2 (22 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \cdot 1) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Étape 1.7.9

Multipliez ${(22 - 2 x)}^{2}$ par $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- 4 \cdot 22 - 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (- 4 \cdot 22) + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.3.1

Multipliez $- 4$ par $22$ .

$x \cdot - 88 + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.3.2

Déplacez $- 88$ à gauche de $x$ .

$- 88 \cdot x + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$- 88 x + x (8 x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x^{1}) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 88 x + 8 x^{1 + 1} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 88 x + 8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Étape 1.8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2} - 88 x$

Étape 1.8.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.5.1

Réécrivez ${(22 - 2 x)}^{2}$ comme $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (22 - 2 x) (22 - 2 x) - 88 x$

Étape 1.8.5.2

Développez $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} + 22 (22 - 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Étape 1.8.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Étape 1.8.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Étape 1.8.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.5.3.1.1

Multipliez $22$ par $22$ .

$8 x^{2} + 484 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Étape 1.8.5.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $22$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Étape 1.8.5.3.1.3

Multipliez $22$ par $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Étape 1.8.5.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 88 x$

Étape 1.8.5.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.5.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 88 x$

Étape 1.8.5.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 88 x$

Étape 1.8.5.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x + 4 x^{2} - 88 x$

Étape 1.8.5.3.2

Soustrayez $44 x$ de $- 44 x$ .

$8 x^{2} + 484 - 88 x + 4 x^{2} - 88 x$

Étape 1.8.6

Additionnez $8 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 484 - 88 x - 88 x$

Étape 1.8.7

Soustrayez $88 x$ de $- 88 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 484 - 176 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} + 484 - 176 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Étape 2.3

Comme $484$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $484$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 176$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 176 x$ par rapport à $x$ est $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 0 - 176 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x + 0 - 176 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 176$ par $1$ .

$24 x + 0 - 176$

Étape 2.5

Additionnez $24 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 176$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x - 176$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Étape 3.2.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 176$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 176$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $24$ et $0$ .

$f''' (x) = 24$

Étape 4

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 0$