Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} - 16)}^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.2.3

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{4} x$

Étape 1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $10 {(x^{2} - 16)}^{4} x$ .

$f' (x) = 10 x {(x^{2} - 16)}^{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x {(x^{2} - 16)}^{4}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 16)}^{4}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 16)}^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{4}] + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$10 (x (8 {(x^{2} - 16)}^{3} x) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (x^{1} x (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (x^{1} x^{1} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez ${(x^{2} - 16)}^{4}$ par $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3})) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Étape 2.11.2

Multipliez $8$ par $10$ .

$80 (x^{2} ({(x^{2} - 16)}^{3})) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Étape 2.11.3

Factorisez $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ à partir de $80 x^{2} {(x^{2} - 16)}^{3} + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

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Étape 2.11.3.1

Factorisez $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ à partir de $80 x^{2} {(x^{2} - 16)}^{3}$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Étape 2.11.3.2

Factorisez $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ à partir de $10 {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (x^{2} - 16)$

Étape 2.11.3.3

Factorisez $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ à partir de $10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (x^{2} - 16)$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2} + x^{2} - 16)$

Étape 2.11.4

Additionnez $8 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 {(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x^{2} - 16)}^{3}$ et $g (x) = 9 x^{2} - 16$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16] + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Étape 3.3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Étape 3.3.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x + 0) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $18$ à gauche de ${(x^{2} - 16)}^{3}$ .

$10 (18 \cdot {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (3 {(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $9 x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 \cdot (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16])$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]))$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16]))$

Étape 3.5.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x + 0))$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x))$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 6 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x) + 10 ((6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Étape 3.6.3

Multipliez $18$ par $10$ .

$180 ({(x^{2} - 16)}^{3} x) + 10 ((6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Étape 3.6.4

Multipliez $9$ par $6$ .

$180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 ((54 x^{2} + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Étape 3.6.5

Multipliez $6$ par $- 16$ .

$180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 ((54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Étape 3.6.6

Factorisez $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ à partir de $180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$ .

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Étape 3.6.6.1

Factorisez $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ à partir de $180 {(x^{2} - 16)}^{3} x$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$

Étape 3.6.6.2

Factorisez $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ à partir de $10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.6.3

Factorisez $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ à partir de $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (54 x^{2} - 96)$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.7

Réorganisez les facteurs de $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$ .

$10 x {(x^{2} - 16)}^{2} (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.8

Réécrivez ${(x^{2} - 16)}^{2}$ comme $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$10 x ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.9

Développez $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 x (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.6.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.10.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.10.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 x (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.10.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$10 x (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.10.1.2

Déplacez $- 16$ à gauche de $x^{2}$ .

$10 x (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.10.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 16$ .

$10 x (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.10.2

Soustrayez $16 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$10 x (x^{4} - 32 x^{2} + 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.11

Appliquez la propriété distributive.

$(10 x \cdot x^{4} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.12

Simplifiez

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Étape 3.6.12.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.12.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$(10 (x^{4} x) + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.12.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 3.6.12.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(10 (x^{4} x^{1}) + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(10 x^{4 + 1} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.12.1.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$(10 x^{5} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.12.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x \cdot x^{2} + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.12.3

Multipliez $256$ par $10$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x \cdot x^{2} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.13.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.13.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 (x^{2} x) + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.13.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.6.13.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 (x^{2} x^{1}) + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.13.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x^{2 + 1} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.13.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x^{3} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.13.2

Multipliez $10$ par $- 32$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 x^{2} + 18 \cdot - 16 + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.14.2

Multipliez $18$ par $- 16$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 x^{2} - 288 + 54 x^{2} - 96)$

Étape 3.6.15

Additionnez $18 x^{2}$ et $54 x^{2}$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 288 - 96)$

Étape 3.6.16

Soustrayez $96$ de $- 288$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 384)$

Étape 3.6.17

Développez $(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 384)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$10 x^{5} (72 x^{2}) + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.18.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$10 \cdot 72 x^{5} x^{2} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.2

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.18.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$10 \cdot 72 (x^{2} x^{5}) + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 \cdot 72 x^{2 + 5} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.2.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$10 \cdot 72 x^{7} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.3

Multipliez $10$ par $72$ .

$720 x^{7} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.4

Multipliez $- 384$ par $10$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{3} x^{2} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.6

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.18.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 (x^{2} x^{3}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{2 + 3} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.6.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{5} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.7

Multipliez $- 320$ par $72$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.8

Multipliez $- 384$ par $- 320$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x \cdot x^{2} + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.10

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.18.10.1

Déplacez $x^{2}$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 (x^{2} x) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.10.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.6.18.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 (x^{2} x^{1}) + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x^{2 + 1} + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x^{3} + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.11

Multipliez $2560$ par $72$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} + 2560 x \cdot - 384$

Étape 3.6.18.12

Multipliez $- 384$ par $2560$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} - 983040 x$

Étape 3.6.19

Soustrayez $23040 x^{5}$ de $- 3840 x^{5}$ .

$720 x^{7} - 26880 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} - 983040 x$

Étape 3.6.20

Additionnez $122880 x^{3}$ et $184320 x^{3}$ .

$f''' (x) = 720 x^{7} - 26880 x^{5} + 307200 x^{3} - 983040 x$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $720 x^{7} - 26880 x^{5} + 307200 x^{3} - 983040 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [720 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$ .

$\frac{d}{d x} [720 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [720 x^{7}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $720$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $720 x^{7}$ par rapport à $x$ est $720 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$720 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$720 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.2.3

Multipliez $7$ par $720$ .

$5040 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 26880$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 26880 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 26880 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$5040 x^{6} - 26880 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5040 x^{6} - 26880 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.3.3

Multipliez $5$ par $- 26880$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [307200 x^{3}]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $307200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $307200 x^{3}$ par rapport à $x$ est $307200 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 307200 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 307200 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.4.3

Multipliez $3$ par $307200$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Étape 4.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 983040 x]$ .

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Étape 4.5.1

Comme $- 983040$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 983040 x$ par rapport à $x$ est $- 983040 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040 \cdot 1$

Étape 4.5.3

Multipliez $- 983040$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040$