Calcul infinitésimal Exemples

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{4}$ et $g (a) = a + b$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a + b$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.2.4

Comme $b$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $b$ par rapport à $a$ est $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.2.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- {(a - b)}^{4}$ par rapport à $a$ est $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{4}$ et $g (a) = a - b$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a - b$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

Étape 1.3.5

Comme $- b$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- b$ par rapport à $a$ est $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

Étape 1.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

Étape 1.3.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

Étape 1.3.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(a + b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

Étape 1.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 {(a - b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

Étape 1.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ .

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

Étape 1.4.2.2

Utilisez le théorème du binôme.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Étape 1.4.2.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Étape 1.4.2.3.3

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

Étape 1.4.2.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Étape 1.4.2.3.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Étape 1.4.2.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Étape 1.4.2.3.7

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

Étape 1.4.2.3.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

Étape 1.4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Étape 1.4.2.5

Simplifiez

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Étape 1.4.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Étape 1.4.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

Étape 1.4.2.5.3

Multipliez $- - b^{3}$ .

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Étape 1.4.2.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

Étape 1.4.2.5.3.2

Multipliez $b^{3}$ par $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

Étape 1.4.2.6

Supprimez les parenthèses.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Étape 1.4.3

Associez les termes opposés dans $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

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Étape 1.4.3.1

Soustrayez $a^{3}$ de $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ et $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Étape 1.4.3.3

Soustrayez $3 a b^{2}$ de $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ et $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

Étape 1.4.4

Additionnez $3 a^{2} b$ et $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

Étape 1.4.5

Additionnez $b^{3}$ et $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

Étape 1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

Étape 1.4.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

Étape 1.4.8

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Étape 2.1.2

Comme $8 b^{3}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $8 b^{3}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $24 b$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $24 a^{2} b$ par rapport à $a$ est $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$0 + 48 b a$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Additionnez $0$ et $48 b a$ .

$48 b a$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $48 b a$ .

$f'' (a) = 48 a b$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $48 b$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $48 a b$ par rapport à $a$ est $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $48$ par $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

Étape 4

Comme $48 b$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $48 b$ par rapport à $a$ est $0$ .

$f^{4} (a) = 0$