Calcul infinitésimal Exemples

$x^{n}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = n$ .

$f' (x) = n x^{n - 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $n$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $n x^{n - 1}$ par rapport à $x$ est $n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$ .

$n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = n - 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 1 - 1})$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 2})$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $n ((n - 1) x^{n - 2})$ .

$f'' (x) = x^{n - 2} n (n - 1)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $n (n - 1)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{n - 2} n (n - 1)$ par rapport à $x$ est $n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$ .

$n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = n - 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 2 - 1})$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(n \cdot n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$(n^{1} n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Étape 3.4.2.2

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$(n^{1} n^{1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Étape 3.4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(n^{1 + 1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Étape 3.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(n^{2} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Étape 3.4.2.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $n$ .

$(n^{2} - 1 \cdot n) ((n - 2) x^{n - 3})$

Étape 3.4.2.6

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$

Étape 3.4.3

Réorganisez les facteurs de $(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$ .

$f''' (x) = x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $(n - 2) (n^{2} - n)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$ par rapport à $x$ est $(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = n - 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 3 - 1})$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$

Étape 4.3.2

Réorganisez les facteurs de $(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$ .

$f^{4} (x) = x^{n - 4} (n - 2) (n - 3) (n^{2} - n)$