Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{6} (5 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (5 x)$ .

$6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1$

Étape 1.3.4

Multipliez $30$ par $1$ .

$f' (x) = 30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{5} (5 x)$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.4

Multipliez $\sin^{5} (5 x)$ par $\sin (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $\sin (5 x)$ .

$30 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.4.2

Multipliez $\sin (5 x)$ par $\sin^{5} (5 x)$ .

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Étape 2.4.2.1

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$30 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$30 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.4.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.5.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \cdot 1) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.5.4.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $\sin^{6} (5 x)$ .

$30 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Étape 2.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cdot \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 2.8.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 2.9

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.10

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 2.13

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.14

Multipliez $5$ par $5$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \cdot 1)$

Étape 2.16

Multipliez $25$ par $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Étape 2.17

Simplifiez

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Étape 2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x)) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Étape 2.17.2

Associez des termes.

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Étape 2.17.2.1

Multipliez $- 5$ par $30$ .

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Étape 2.17.2.2

Multipliez $25$ par $30$ .

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 750 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x)$

Étape 2.17.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $750$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ par rapport à $x$ est $750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ .

$750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{4} (5 x)$ et $g (x) = \cos^{2} (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)] + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.4.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 3.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.8.2

La dérivée de $\sin (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $\cos (u_{4})$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.12

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- 5 \sin (5 x))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.13

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.14

Multipliez $\sin^{4} (5 x)$ par $\sin (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.14.1

Déplacez $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.14.2

Multipliez $\sin (5 x)$ par $\sin^{4} (5 x)$ .

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Étape 3.2.14.2.1

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$750 (\sin^{1} (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$750 ({\sin (5 x)}^{1 + 4} (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.14.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.15

Multipliez $5$ par $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.16

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.17

Multipliez $5$ par $4$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.18

Multipliez $\cos^{2} (5 x)$ par $\cos (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.18.1

Déplacez $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.18.2

Multipliez $\cos (5 x)$ par $\cos^{2} (5 x)$ .

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Étape 3.2.18.2.1

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.18.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + {\cos (5 x)}^{1 + 2} (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.18.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{3} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.2.19

Déplacez $20$ à gauche de $\cos^{3} (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 150$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 150 \sin^{6} (5 x)$ par rapport à $x$ est $- 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ est $n {u_{5}}^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 {u_{5}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $5 x$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sin (u_{6})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{6})$ par rapport à $u_{6}$ est $\cos (u_{6})$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{6}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $5 x$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))$

Étape 3.3.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))$

Étape 3.3.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))$

Étape 3.3.8

Multipliez $5$ par $6$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x))$

Étape 3.3.9

Multipliez $30$ par $- 150$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 10$ par $750$ .

$- 7500 (\sin^{5} (5 x) (\cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $20$ par $750$ .

$- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Étape 3.4.2.3

Soustrayez $4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ de $- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ .

$f''' (x) = - 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 12000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ par rapport à $x$ est $- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.2

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 4.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.7.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.11

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.12

Multipliez $\sin^{5} (5 x)$ par $\sin (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.12.1

Déplacez $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.12.2

Multipliez $\sin (5 x)$ par $\sin^{5} (5 x)$ .

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Étape 4.2.12.2.1

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 12000 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12000 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.12.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$- 12000 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.13

Déplacez $- 5$ à gauche de $\sin^{6} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.14

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.15

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.16

Multipliez $5$ par $5$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (25 \sin^{4} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.17

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.18

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) {\cos (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.2.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $15000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ par rapport à $x$ est $15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{3} (5 x)$ et $g (x) = \sin^{3} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)] + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.4.2

La dérivée de $\sin (u_{5})$ par rapport à $u_{5}$ est $\cos (u_{5})$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Étape 4.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Étape 4.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ est $n {u_{6}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 {u_{6}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Étape 4.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Étape 4.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{7}$ comme $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{7}} [\cos (u_{7})] \frac{d}{d x} [5 x])))$

Étape 4.3.8.2

La dérivée de $\cos (u_{7})$ par rapport à $u_{7}$ est $- \sin (u_{7})$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (u_{7}) \frac{d}{d x} [5 x])))$

Étape 4.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{7}$ par $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])))$

Étape 4.3.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))))$

Étape 4.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.12

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.13

Multipliez $5$ par $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.14

Multipliez $\cos^{3} (5 x)$ par $\cos (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.14.1

Déplacez $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.14.2

Multipliez $\cos (5 x)$ par $\cos^{3} (5 x)$ .

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Étape 4.3.14.2.1

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{1} (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 ({\cos (5 x)}^{1 + 3} (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.14.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{4} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.15

Déplacez $15$ à gauche de $\cos^{4} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cdot \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Étape 4.3.16

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)))$

Étape 4.3.17

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x))))$

Étape 4.3.18

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)))$

Étape 4.3.19

Multipliez $\sin^{3} (5 x)$ par $\sin (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.19.1

Déplacez $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.3.19.2

Multipliez $\sin (5 x)$ par $\sin^{3} (5 x)$ .

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Étape 4.3.19.2.1

Élevez $\sin (5 x)$ à la puissance $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{1} (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.3.19.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + {\sin (5 x)}^{1 + 3} (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.3.19.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $- 5$ par $- 12000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.4.3.2

Multipliez $25$ par $- 12000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 (\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.4.3.3

Multipliez $15$ par $15000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 (\cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.4.3.4

Multipliez $- 15$ par $15000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) - 225000 (\sin^{4} (5 x) (\cos^{2} (5 x)))$

Étape 4.4.3.5

Soustrayez $225000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ de $- 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)$

Étape 4.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + 60000 \sin^{6} (5 x)$