Calcul infinitésimal Exemples

$20 x^{\frac{7}{2}} - 700 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 x^{\frac{7}{2}} - 700 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.7

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$20 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.8

Associez $20$ et $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{20 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.9

Multipliez $7$ par $20$ .

$\frac{140 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.10

Factorisez $2$ à partir de $140 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{70 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.2.11.4

Divisez $70 x^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 700$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 700 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 700 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 700 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 700 (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 700$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 1400 x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 1400 x + 70 x^{\frac{5}{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1400 x + 70 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1400 x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1400 x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 1400 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1400$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1400 x$ par rapport à $x$ est $- 1400 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 1400 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1400 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1400$ par $1$ .

$- 1400 + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $70 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $70 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$- 1400 + 70 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Étape 2.3.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 1400 + 70 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.3.8

Associez $70$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- 1400 + \frac{70 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 2.3.9

Multipliez $5$ par $70$ .

$- 1400 + \frac{350 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.3.10

Factorisez $2$ à partir de $350 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 2.3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Étape 2.3.11.2

Annulez le facteur commun.

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.11.3

Réécrivez l’expression.

$- 1400 + \frac{175 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Étape 2.3.11.4

Divisez $175 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$- 1400 + 175 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 175 x^{\frac{3}{2}} - 1400$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $175 x^{\frac{3}{2}} - 1400$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$ .

$\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $175$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $175 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $175 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$175 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$175 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.8

Associez $175$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{175 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.2.9

Multipliez $3$ par $175$ .

$\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 1400$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1400$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $0$ .

$f''' (x) = \frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $\frac{525}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{525}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{525}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{525}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{525}{2}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{525 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.10

Multipliez.

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Étape 4.10.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{525 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Étape 4.10.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{525}{4 x^{\frac{1}{2}}}$