Calcul infinitésimal Exemples

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Étape 1.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Étape 1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Étape 1.3.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 1.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$2 x^{- 3} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} - 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$2 x^{- 3} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x^{- 3} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{- 3} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{- 3} - 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$2 x^{- 3} - 2 (- 3 x^{- 4})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$2 x^{- 3} + 6 x^{- 4}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} + 6 x^{- 4}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} + 6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.4.3.2

Associez $6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 3.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 3.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 x^{- 4} + 6 (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 3.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 6 x^{- 4} + 6 (- 4 x^{- 5})$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$- 6 x^{- 4} - 24 x^{- 5}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{4}} - 24 x^{- 5}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{4}} - 24 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 6}{x^{4}} - 24 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 3.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{x^{4}} - 24 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 3.4.3.3

Associez $- 24$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 24}{x^{5}}$

Étape 3.4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{6}{x^{4}} - \frac{24}{x^{5}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{6}{x^{4}} - \frac{24}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{4}$ .

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 6 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4}$ .

$- 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 4.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.2.8

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{24}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$24 x^{- 5} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$24 x^{- 5} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{5}$ .

$24 x^{- 5} - 24 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$24 x^{- 5} - 24 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{5}$ .

$24 x^{- 5} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$24 x^{- 5} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Étape 4.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 x^{- 5} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$24 x^{- 5} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Étape 4.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$24 x^{- 5} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Étape 4.3.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$24 x^{- 5} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Étape 4.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x^{- 5} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

Étape 4.3.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$24 x^{- 5} - 24 (- 5 x^{- 6})$

Étape 4.3.8

Multipliez $- 5$ par $- 24$ .

$24 x^{- 5} + 120 x^{- 6}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{5}} + 120 x^{- 6}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{5}} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 4.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.4.3.1

Associez $24$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{24}{x^{5}} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 4.4.3.2

Associez $120$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24}{x^{5}} + \frac{120}{x^{6}}$