Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{0}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1}$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{0}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} = \sum_{i = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} + \sum_{i = 0}^{0} 4^{i} - 4^{i - 1}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{i = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1}$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{30} 4^{i} - 4^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{30} 4^{i} + \sum_{k = 1}^{30} - 4^{i - 1}$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{30} 4^{i}$ .

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Étape 2.2.1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2.2.2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.2.2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{4^{i + 1}}{4^{i}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun à $4^{i + 1}$ et $4^{i}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $4^{i}$ à partir de $4^{i + 1}$ .

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{4^{i} \cdot 4}{4^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{4}{1}$

Étape 2.2.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$r = 4$

Étape 2.2.3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 2.2.3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $4^{i}$ .

$a = 4^{1}$

Étape 2.2.3.2

Évaluez l’exposant.

$a = 4$

Étape 2.2.4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$4 \frac{1 - 4^{30}}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $30$ .

$4 \frac{1 - 1 \cdot 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1152921504606850000$ .

$4 \frac{1 - 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.2.5.1.3

Soustrayez $1152921504606850000$ de $1$ .

$4 \frac{- 1152921504606849999}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 \frac{- 1152921504606849999}{1 - 4}$

Étape 2.2.5.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 (\frac{- 1152921504606849999}{- 3})$

Étape 2.2.5.3

Divisez $- 1152921504606849999$ par $- 3$ .

$4 \cdot 384307168202283333$

Étape 2.2.5.4

Multipliez $4$ par $384307168202283333$ .

$1537228672809133332$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{30} - 4^{i - 1}$ .

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Étape 2.3.1

Étape 2.3.2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.3.2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{- 4^{i + 1 - 1}}{- 4^{i - 1}}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$r = \frac{4^{i + 1 - 1}}{4^{i - 1}}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun à $4^{i + 1 - 1}$ et $4^{i - 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $4^{i - 1}$ à partir de $4^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1}}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{4^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.2.4

Divisez $4^{i + 0 - (i - 1)}$ par $1$ .

$r = 4^{i + 0 - (i - 1)}$

Étape 2.3.2.2.3

Additionnez $i$ et $0$ .

$r = 4^{i - (i - 1)}$

Étape 2.3.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = 4^{i - i - - 1}$

Étape 2.3.2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = 4^{i - i + 1}$

Étape 2.3.2.2.5

Soustrayez $i$ de $i$ .

$r = 4^{0 + 1}$

Étape 2.3.2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = 4^{1}$

Étape 2.3.2.2.7

Évaluez l’exposant.

$r = 4$

Étape 2.3.3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 2.3.3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $- 4^{i - 1}$ .

$a = - 4^{1 - 1}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = - 4^{0}$

Étape 2.3.3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a = - 1$

Étape 2.3.4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- \frac{1 - 4^{30}}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $30$ .

$- \frac{1 - 1 \cdot 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1152921504606850000$ .

$- \frac{1 - 1152921504606850000}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.3.5.1.3

Soustrayez $1152921504606850000$ de $1$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{1 - 4}$

Étape 2.3.5.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- \frac{- 1152921504606849999}{- 3}$

Étape 2.3.5.3

Divisez $- 1152921504606849999$ par $- 3$ .

$- 1 \cdot 384307168202283333$

Étape 2.3.5.4

Multipliez $- 1$ par $384307168202283333$ .

$- 384307168202283333$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$1537228672809133332 - 384307168202283333$

Étape 2.5

Soustrayez $384307168202283333$ de $1537228672809133332$ .

$1152921504606849999$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 0}^{0} 4^{i} - 4^{i - 1}$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$4^{0} - 4^{0 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $0$ .

$1 - 4^{0 - 1}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$1 - 4^{- 1}$

Étape 3.2.3

Élevez $4$ à la puissance $- 1$ .

$1 - 1 \cdot 0.25$

Étape 3.2.4

Multipliez $- 1$ par $0.25$ .

$1 - 0.25$

Étape 3.2.5

Soustrayez $0.25$ de $1$ .

$0.75$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$1152921504606849999 + 0.75$

Étape 5

Additionnez $1152921504606849999$ et $0.75$ .

$1152921504606849999.75$