Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{1}{2} n + 3$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $n$ .

$\frac{n}{2} + 3$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{n}{2} + 3$

Étape 2

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $n$ égale à $1$ .

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{n}{2} + 3 = \sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3 - \sum_{n = 1}^{1} \frac{n}{2} + 3$

Étape 3

Évaluez $\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3$ .

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Étape 3.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3 = \sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + \sum_{n = 1}^{10} 3$

Étape 3.2

Évaluez $\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $\frac{1}{2}$ dans l’addition.

$(\frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{10} n$

Étape 3.2.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.2.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{1}{2}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 3.2.4.1.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{110}{2}$

Étape 3.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $110$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (55)}{2}$

Étape 3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 55}{2}$

Étape 3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{55}{2}$

Étape 3.3

Évaluez $\sum_{n = 1}^{10} 3$ .

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Étape 3.3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(3) (10)$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $10$ .

$30$

Étape 3.4

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{55}{2} + 30$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Pour écrire $30$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{55}{2} + 30 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.5.2

Associez $30$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{55}{2} + \frac{30 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{55 + 30 \cdot 2}{2}$

Étape 3.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $30$ par $2$ .

$\frac{55 + 60}{2}$

Étape 3.5.4.2

Additionnez $55$ et $60$ .

$\frac{115}{2}$

Étape 4

Évaluez $\sum_{n = 1}^{1} \frac{n}{2} + 3$ .

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Étape 4.1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$\frac{1}{2} + 3$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.2.2

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1 + 6}{2}$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{7}{2}$

Étape 5

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$\frac{115}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{115 - 7}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $7$ de $115$ .

$\frac{108}{2}$

Étape 6.2.2

Divisez $108$ par $2$ .

$54$