Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k - 6}{4}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k - 6$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k$ .

$\frac{3 (k) - 6}{4}$

Étape 1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3 k + 3 \cdot - 2}{4}$

Étape 1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 k + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (k - 2)}{4}$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 (k - 2)}{4}$

Étape 2

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} - \sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ .

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Étape 3.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} + \sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$

Étape 3.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $\frac{3}{4}$ dans l’addition.

$(\frac{3}{4}) \sum_{k = 1}^{31} k$

Étape 3.2.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.2.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{3}{4}) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1.1

Additionnez $31$ et $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{31 \cdot 32}{2}$

Étape 3.2.4.1.2

Multipliez $31$ par $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{992}{2}$

Étape 3.2.4.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $992$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 (248)}{2}$

Étape 3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 248}{2}$

Étape 3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{248}{2})$

Étape 3.2.4.3

Associez $3$ et $\frac{248}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 248}{2}$

Étape 3.2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.4.1

Multipliez $3$ par $248$ .

$\frac{744}{2}$

Étape 3.2.4.4.2

Divisez $744$ par $2$ .

$372$

Étape 3.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$ .

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Étape 3.3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- \frac{3}{2}) (31)$

Étape 3.3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $(- \frac{3}{2}) (31)$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $31$ par $- 1$ .

$- 31 (\frac{3}{2})$

Étape 3.3.3.1.2

Associez $- 31$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 31 \cdot 3}{2}$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $- 31$ par $3$ .

$\frac{- 93}{2}$

Étape 3.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{93}{2}$

Étape 3.4

Additionnez les résultats des additions.

$372 - \frac{93}{2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Pour écrire $372$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$372 \cdot \frac{2}{2} - \frac{93}{2}$

Étape 3.5.2

Associez $372$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{372 \cdot 2}{2} - \frac{93}{2}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{372 \cdot 2 - 93}{2}$

Étape 3.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $372$ par $2$ .

$\frac{744 - 93}{2}$

Étape 3.5.4.2

Soustrayez $93$ de $744$ .

$\frac{651}{2}$

Étape 4

Évaluez $\sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ .

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Étape 4.1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} + \dots + \frac{3 \cdot 5}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez la forme développée.

$\frac{15}{4}$

Étape 5

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$\frac{651}{2} - \frac{15}{4}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Pour écrire $\frac{651}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{651}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

Étape 6.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{651}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{651 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{651 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{651 \cdot 2 - 15}{4}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $651$ par $2$ .

$\frac{1302 - 15}{4}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $15$ de $1302$ .

$\frac{1287}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1287}{4}$

Forme décimale :

$321.75$

Forme de nombre mixte :

$321 \frac{3}{4}$