Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{3} {(- 1)}^{k + 1} + \cos (\frac{π}{k})$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

${(- 1)}^{1 + 1} + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Additionnez $1$ et $1$ .

${(- 1)}^{2} + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.3

Divisez $π$ par $1$ .

$1 + \cos (π) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$1 - \cos (0) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1 - 1 \cdot 1 + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1 + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$1 - 1 + {(- 1)}^{3} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 1 - 1 + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.9

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$1 - 1 - 1 + 0 + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.10

Additionnez $3$ et $1$ .

$1 - 1 - 1 + 0 + {(- 1)}^{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 1 - 1 + 0 + 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.1.12

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$1 - 1 - 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 - 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$- 1 + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.5.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 2.5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2}$

Étape 2.5.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.5.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 + 2 + 1}{2}$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 + 2 + 1}{2}$

Étape 2.8

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0 + 1}{2}$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$