Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{j = 2}^{4} {(j + 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(j + 1)}^{2}$ comme $(j + 1) (j + 1)$ .

$(j + 1) (j + 1)$

Étape 1.2

Développez $(j + 1) (j + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$j (j + 1) + 1 (j + 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$j \cdot j + j \cdot 1 + 1 (j + 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$j \cdot j + j \cdot 1 + 1 j + 1 \cdot 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $j$ par $j$ .

$j^{2} + j \cdot 1 + 1 j + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $j$ par $1$ .

$j^{2} + j + 1 j + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $j$ par $1$ .

$j^{2} + j + j + 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$j^{2} + j + j + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $j$ et $j$ .

$j^{2} + 2 j + 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{j = 2}^{4} j^{2} + 2 j + 1$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $j$ .

$2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 4 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$8 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.4

Additionnez $8$ et $1$ .

$9 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 + 9 + 2 \cdot 3 + 1 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$9 + 9 + 6 + 1 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.7

Additionnez $9$ et $6$ .

$9 + 15 + 1 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.8

Additionnez $15$ et $1$ .

$9 + 16 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.9

Additionnez $9$ et $16$ .

$25 + 4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$25 + 16 + 2 \cdot 4 + 1$

Étape 3.11

Multipliez $2$ par $4$ .

$25 + 16 + 8 + 1$

Étape 3.12

Additionnez $16$ et $8$ .

$25 + 24 + 1$

Étape 3.13

Additionnez $24$ et $1$ .

$25 + 25$

Étape 3.14

Additionnez $25$ et $25$ .

$50$