Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 2}^{5} \frac{1}{2 k (k + 1)}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.6

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.8

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 \cdot 5} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.9

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Étape 2.1.10

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 (5 + 1)}$

Étape 2.1.11

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 \cdot 6}$

Étape 2.1.12

Multipliez $10$ par $6$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{10}{10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{1}{24}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{1}{24}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{1}{40}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{60}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{1}{40}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60}$

Étape 2.2.7

Multipliez $\frac{1}{60}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.8

Multipliez $\frac{1}{60}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Étape 2.2.9

Réorganisez les facteurs de $12 \cdot 10$ .

$\frac{10}{10 \cdot 12} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Étape 2.2.10

Multipliez $10$ par $12$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Étape 2.2.11

Réorganisez les facteurs de $24 \cdot 5$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{5 \cdot 24} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Étape 2.2.12

Multipliez $5$ par $24$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Étape 2.2.13

Réorganisez les facteurs de $40 \cdot 3$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{3 \cdot 40} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Étape 2.2.14

Multipliez $3$ par $40$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Étape 2.2.15

Réorganisez les facteurs de $60 \cdot 2$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{2 \cdot 60}$

Étape 2.2.16

Multipliez $2$ par $60$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{120}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 + 5 + 3 + 2}{120}$

Étape 2.4

Additionnez $10$ et $5$ .

$\frac{15 + 3 + 2}{120}$

Étape 2.5

Additionnez $15$ et $3$ .

$\frac{18 + 2}{120}$

Étape 2.6

Additionnez $18$ et $2$ .

$\frac{20}{120}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $20$ et $120$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $20$ à partir de $20$ .

$\frac{20 (1)}{120}$

Étape 2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $20$ à partir de $120$ .

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

Étape 2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

Étape 2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$